信号与系统抽样定理的证明

信号与系统中的抽样定理，也称为奈奎斯特抽样定理，它指出如果一个连续时间信号f(t)的频谱没有超过一定的频率，称为奈奎斯特频率，那么在时间间隔T=1/2πf的采样下，可以完全重建该信号。

以下是抽样定理的简单证明：

假设信号f(t)的频谱为F(f)，采样频率为fs，采样点数为N。那么，对于任意一个信号f(t)，可以表示为无穷级数形式：

f(t)=∑(cncos(2πnft)+snsin(2πnft))其中，cn和sn是系数。

在采样频率fs下，对f(t)进行N次采样，得到N个采样点值。由于采样间隔为T=1/fs，因此可以得到N个点的傅里叶变换结果：

F(f)=∑(c0delta(f-nfs)+s0delta(f+nfs))其中，c0和s0是系数。

由于信号的频谱是有限的，因此在大于奈奎斯特频率的频率上，系数c0和s0都为零。这意味着在采样点数N足够大的情况下，通过傅里叶变换可以将采样点重建为原信号f(t)。