函数奇偶性加减乘除判定口诀（图解详解）

一、什么是函数奇偶性加减乘除判定口诀

1、函数和奇偶性的概念

函数是高中数学中的基本概念，它是一种对应关系，用来描述自变量和因变量之间的关系。而奇偶性则指的是函数图像关于纵轴对称或关于原点对称的性质。在解题中，我们常常需要判断一个函数的奇偶性，以便更好地求解函数的相关性质。

2、加减乘除判定口诀的意义

加减乘除判定口诀是判断函数奇偶性的重要方法。由于函数奇偶性的不同会对应不同的运算规律，因此掌握加减乘除判定口诀可以帮助我们更快地判断函数的奇偶性。

3、加减乘除判定口诀的图解

二、奇偶函数的判定方法

1、奇偶性的定义

函数$f(x)$是奇函数的充要条件是$f(-x)=-f(x)$，即函数图像关于原点对称。而函数$f(x)$是偶函数的充要条件是$f(-x)=f(x)$，即函数图像关于纵轴对称。

2、奇偶函数的判定方法

通过函数的解析式，我们可以很容易地判断函数的奇偶性。

（1）解析式中只有$x$的奇次幂：函数为奇函数。

（2）解析式中只有$x$的偶次幂：函数为偶函数。

（3）解析式中同时含有$x$的奇次幂和偶次幂：函数既不是奇函数也不是偶函数。

3、奇偶函数图像的特点

（1）奇函数：图像关于原点对称，只需要画出函数图像的一部分即可构造出整个函数的图像。

（2）偶函数：图像关于纵轴对称，只需要画出函数图像的一半即可构造出整个函数的图像。

三、奇偶函数的四则运算规律

1、奇奇函数的运算

（1）奇奇函数相加：结果是奇函数。

（2）奇奇函数相减：结果是奇函数。

（3）奇奇函数相乘：结果是偶函数。

（4）奇奇函数相除：结果是奇函数。

2、偶偶函数的运算

（1）偶偶函数相加：结果是偶函数。

（2）偶偶函数相减：结果是偶函数。

（3）偶偶函数相乘：结果是偶函数。

（4）偶偶函数相除：结果是偶函数。

3、奇偶函数的运算

（1）奇偶函数相加：结果是奇偶不定的函数。

（2）奇偶函数相减：结果是奇偶不定的函数。

（3）奇偶函数相乘：结果是偶函数。

（4）奇偶函数相除：结果是奇偶不定的函数。

4、补充说明

（1）奇函数乘偶函数的结果是奇函数。

（2）奇函数除以偶函数的结果是奇函数。

四、实例分析

1、例题一

已知$f(x)=x^3-2x$，判断函数$f(x)$的奇偶性。

解：

由于$f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x$，将其与$f(x)=x^3-2x$比较，发现$f(-x)=-f(x)$，因此$f(x)$是奇函数。

2、例题二

已知$f(x)=x^2+1$，求$f(x)$和$f(-x)$的和与差。

解：

由于$f(x)$是偶函数，$f(-x)=f(x)$，因此：

$f(x)+f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x)$

$f(x)-f(-x)=f(x)-f(x)=0$

3、例题三

已知$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，求$f(x)g(x)$和$f(x)+g(x)$的奇偶性。

解：

由于偶函数乘奇函数的结果是奇函数，因此$f(x)g(x)$是奇函数。

由于偶函数加奇函数的结果是奇偶不定的函数，因此$f(x)+g(x)$的奇偶性不确定。

我们了解了函数奇偶性加减乘除判定口诀的图解方法、函数奇偶性的定义和判定方法以及奇偶函数的四则运算规律，并通过实例展示了如何应用这些知识解决数学问题。掌握函数奇偶性加减乘除判定口诀对于学好高中数学和应用数学都有重要意义。